Por definição, um reticulado $\mathcal{L}$ gerado por uma base $\bold{B}$ é o conjunto de pontos num espaço vetorial euclidiano que podem ser alcançados por combinações lineares inteiras dos vetores que compõe a base $\bold{B}$, i.e,
$$ \mathcal{L}(\bold{B})=\{\bold{B}\bold{x}:\bold{x}\in\mathbb{Z}^n\} $$
Note que, o espaço vetorial do reticulado $\mathcal{L}$ não é o mesmo que o $\bold{span\ }$da base $\bold{B}$, porque nesta nova estrutura estamos limitados ao conjunto dos inteiros $\mathbb{Z}$, enquanto o espaço vetorial gerado pela base $\bold{B}$ aceita qualquer número real $x$ como coeficiente da combinação linear.
$$ \bold{span(B)}=\{\bold{Bx}:\bold{x}\in\mathbb{R}^n\} $$
$$ \text{Ex:\ \ \ \ } \begin{bmatrix}1 \ \ \ \ \ 2\\3\ \ \ \ \ 5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}0.2\\3.7\end{bmatrix} \notin\mathcal{L} $$
$$ \text{Ex:\ \ \ \ } \begin{bmatrix}1 \ \ \ \ \ 2\\3\ \ \ \ \ 5\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}5\\9\end{bmatrix} \in\mathcal{L} $$
Dada uma base $\bold{B}=\{b_1, \dots, b_n\}\in\mathbb{Z}^{m\times n}$, o Domínio Fundamental, também chamado de Paralelepípedo Fundamental, associado a base é definido como:
$$ \mathcal{F}(\bold{B})=\{\sum^n_{i=1} x_i \cdot \bold{b}_i: 0 \leq x_i < 1\}. $$
Ou seja, cada ponto no domínio fundamental é uma combinação linear dos vetores $\bold{b_i}$ da base com os coeficientes $x_i$ variando no intervalo de um cubo unitário meio aberto em $\mathbb{R}^n$.
Geometricamente, o determinante de um reticulado $\mathcal{L}$ é o volume do Paralelotopo Fundamental $\mathcal{F}$ da base que o gera.
$$ \text{det}(\mathcal{L}(\bold{B}))=\text{vol}(\mathcal{F}(\bold{B})) $$
$\textsf{Proposição 1:} \text{\ Seja }\mathcal{L} \text{\ o reticulado gerado pela base B, então seu paraleletopo ortogo-}\\\text{nalizado }\mathcal{F}(\bold{B}^*)\ \text{é o domínio fundamental de }\mathcal{L}$.
Assim, o cálculo do determinante pode ser reduzido ao produtório das normas euclidianas dos vetores da base ortogonalizada.
$$ \text{det}(\mathcal{L}(\bold{B}))=\prod_{j=1}^n \|b_j^*\| $$
$\textsf{Proposição 2:} \text{ O determinante de qualquer base }\bold{B}=\{b_1,\dots,b_n\} , b_i\in{\mathbb{Z}^n} \text{ é inteiro.}$
Isso se dá, porque $\sqrt{\det(B^TB)}$ também é o igual ao determinante do reticulado, é fácil provar:
Seja $B=QR$ a decomposição da base do reticulado $\mathcal{L}$ na matriz ortonormal $Q$ e na matriz triangular superior $R$ com diagonal em 1. Segue que,